FEBRERO

Funciones vectoriales de variables reales 

 En este capítulo consideraremos finciones cuyos valores son vectores.Tales funciones proporcionan una manera de estudiar curvas en los espacios de dos y tres dimensiones.

La importancia de este estudio es que por ejemplo el movimiento de muchos objetos en el espacio se describe mediante funciones verctoriales . Funciones Vectoriales En general,una función es una regla que se asigna a cada elemento el el dominio lo que es importante recordar lo que es Dominio y Rango de una función.

Funciones vectoriales de una variable real
Este capítulo combina el Álgebra vectorial con los métodos del Cálculo y
describe algunas aplicaciones al estudio de curvas y algunos problemas de Mecánica.
El concepto de función vectorial es fundamental en este estudio.

DEFINICIÓN. Una función cuyo dominio es un conjunto de números reales
y cuyo recorrido es un subconjunto del espacio n-dimensional Vn se denomina
función vectorial de una variable real.

Por ejemplo, la recta
que pasa por un punto P y es paralela a un vector no nulo A es el recorrido de
la función vectorial X dada por
x(t) = P + fA
para todo real t.
Las funciones vectoriales se designarán con letras mayúsculas cursivas tales
como F, G, X, Y, etc., o mediante letras minúsculas cursivas negritas f, g, etc.
El valor de una función F en t se designa, corrientemente, por F(t). En los ejemplos
que estudiaremos, el dominio de F será un intervalo que puede contener uno
o dos extremos o que puede ser infinito.

Operaciones algebraicas.
Las operaciones usuales del Álgebra vectorial pueden aplicarse para combinar
dos funciones vectoriales o una función vectorial con una función real

F Y G son funciones vectoriales, y si u es una función real, teniendo todas un dominio
común, definimos nuevas funciones F + G, uF, y F' G mediante
(F + G)(t) = F(t) + G(t) , (uF)(t) = u(t)F(t) , (F' G)(t) = F(t)· G(t) .
La suma F + G y el producto uF son vectoriales, mientras que el producto escalar
F . G es real. Si F(t} Y G(t} están en el espacio de 3 dimensiones, también
podemos definir el producto vectorial F X G con la fórmula
(F X G)(t) = F(t) x G(t).
La operación de composición puede aplicarse para combinar funciones vectoriales
con funciones reales. Por ejemplo, si F es una función vectorial cuyo dominio
contiene el recorrido de una función real u, la función compuesta G = F o u
es una nueva función vectorial definida por G(t) = F[u(t)]
para cada t en el dominio de u.
Si una función F tiene sus valores en V n, cada vector F(t} tiene n componentes,
y podemos escribir
F(t) = (fl(t),f¿(t)" ... ,fnCt» .
Así pues, cada función vectorial F origina n funciones reales t., ... , i« cuyos valores
en t son los componentes de F(t}. Indicamos esta relación escribiendo
F = (/1' ... , fn), y llamamos /k el k·ésimo componente de F.

Los conceptos fundamentales del Cálculo, tales como límite, derivada e integral,

.también pueden extenderse a las funciones vectoriales. Expresamos sencillamente

la función vectorial en función de sus componentes y realizamos las operaciones

del cálculo sobre los componentes.

DEFINICIÓN. Si F = (/1> ... , fn) es una función vectorial, definimos el límite,

la derivada y la integral por

lirn f(t) = (lirnf1(t), ... , lirnfT/(t}) ,

t-+p t-'P t-1J

F'(t} = (f{(t), ... ,f~(t»,

f F(t) dt = U:fl(t) dt, ... ,I:fit) dt) ,

Decimos también que F es continua, derivable o integrable en' un intervalo

si cada componente de F tiene la correspondiente propiedad en el intervalo.

A la vista de esas definiciones, no puede sorprender encontrar que muchos de

los teoremas sobre límites, continuidad, derivación, e integración de funciones

reales también son válidos para funciones vectoriales. Vamos a establecer algunos

de los teoremas que utilizamos en este capítulo.

Si F, G, Yu son derivables en un intervalo, lo mismo Ocurre

con F + G, uF, y F' G, Y tenemos

(F + G)' = E' + G', (uF)' = u'F + ul", (F' G)' = F'· G + F' G'.

Si F Y G tienen los valores en V3 también tenemos

(F x G)' = E' x G + F x G'.

Demostración. Para ver la marcha de las demostraciones discutimos la fórmula

para (uF)'. Las demostraciones de las otras son parecidas y se dejan como

ejercicios para el lector.

Escribiendo F = (/" ... , fn), tenemos

uF = (uf! , ... , ufn) , (uF)' = ((uf!)', ... , (ufn)') .

Pero la derivada del k-ésimo componente de uF es (ufd = u'[; + ufk, así que

tenemos

(uF)' = u'(j~, ... ,fn) + u(f{ , ... ,f~) = u'F + u F',

El lector observará que las fórmulas de derivación del teorema 14.1 son

análogas a las de la derivación de una suma o un producto de funciones reales.

Puesto que el producto vectorial no es conmutativo, debe uno prestar atención al

orden de los factores en la fórmula correspondiente a (F X G)'.

La fórmula para la derivación F . G nos da el siguiente teorema que se utilizará

con frecuencia.

TEOREMA . Si una función vectorial es derivable y es de longitud constante

en un intervalo abierto 1, entonces F' F' = O en l. DICho de otro modo,

F'(t) es perpendicular a F(t) para cada t en l.

Demostración. Pongamos g(t) = F(t)W = F(t)· F(t). Por hipótesis, g es

constante en 1, y por lo tanto g' = O en l. Pero ya que g es un producto escalar,

tenemos g' = F" F + F' F' = 2F· F'. Por lo tanto F' F' = O.

INTERPRETACION GEOMETRICA

Invariancia frente a un cambio de parámetro. Funciones distintas

pueden tener la misma gráfica. Por ejemplo, supongamos que X es una

función vectorial continua definida en un intervalo 1 y que u es una función real

derivable con u' siempre distinta de cero en un intervalo J, y tal que el recorrido

de u sea l. Entonces la función Y definida en J por la ecuación

Y(t) = X[u(t)]

es una función vectorial continua que tiene la misma gráfica que X. Dos tunciones

X e Y así relacionadas se llaman equivalentes. Se dice de ellas que proporcionan

representaciones paramétricas distintas de la misma curva. Asimismo se dice

que la función u define un cambio de parámetro.

Los conceptos geométricos más importantes asociados a una curva son aquellos

que permanecen invariantes frente a un cambio de parámetro. Por ejemplo,

es fácil demostrar que la tangente es invariante. Si la derivada X'[u(t)] existe, la

regla de la cadena muestra que Y'(t) también existe y viene dada por la fórmula

y'(t) = X'[u(t)]u'(t) .

La derivada u'(t) nunca es cero. Si X'[u(t)] es no nula, Y'(t) tampoco es nula, de

modo que Y'(t) es paralelo a X'[u(t)]. Por consiguiente ambas representaciones

X e Y nos conducen a la misma tangente en cada punto de la curva.

EJEMPLO 4. Propiedades de reflexión en las cónicas. Las cónicas tienen

propiedades de reflexión usadas con frecuencia en el diseño de instrumentos óptica

Sea C una curva descrita por una funci6n vectorial continua X.

Si existe la derivada X'(t) y no es nula, la recta que pasa por X(t) y paralela a

X(t)se llama tangente a C en X(t). El vector X'(t) se denomina vector tangente

a C en X(t).

EJEMPLO 1. Recta. Para una recta dada por X(t) = P + tA, siendo

A =1=0, tenemos X'(t) = A, así que la recta tangente en cada punto coincide con

la gráfica de X, propiedad que ciertamente deseábamos.

EJEMPLO 2. Circunferencia. Si X describe una circunferencia de radio a

y centro en P, entonces IIX(t) - PII = a para cada t. El vector X(t) - P se llama

radio vector; puede representarse geométricamente por una flecha desde el centro

al punto X(t). Puesto que el radio vector tiene longitud constante, el teorema nos dice que es perpendicular a su derivada y por tanto perpendicular a la

recta tangente. Así pues, para una circunferencia, nuestra definici6n de tangencia

está de acuerdo con la que se da en la Geometría plana elementa

Aplicaciones al movimiento curvilíneo.
Vector velocidad, velocidad y aceleración
Supongamos que una partícula se mueve en el espacio de 2 ó 3 dimensiones
de modo que su posición en el instante t referida a un cierto sistema coordenado
venga dado por un vector X(t). Cuando t varía en un intervalo de tiempo, el camino
recorrido por la partícula es sencillamente la gráfica de X. Así pues, la
función vectorial X nos sirve como modelo matemático para describir el movimiento.
A la función vectorial X la llamamos función posición del movimiento.
Los conceptos físicos tales como vector velocidad, velocidad, y vector aceleración
pueden definirse en función de las derivadas de la función de posición. En la siguiente
discusión suponemos que la función posición puede derivarse cuantas
veces sea preciso sin decirlo en cada ocasión.
DEFINICIÓN. Consideremos un movimiento descrito por una función vectorial
X. La derivada X'(t) se llama vector velocidad en el instante t. La longitud
del vector velocidad, IIX'(t)II, se llama velocidad. La derivada segunda X"(t) del
vector posición. se llama vector aceleración.

Notación. A veces la función posición X se representa por r, el vector
velocidad por v, la velocidad por v y la aceleración a. Así que v = r', v = 11 e],
y a = v' = r",
Si el vector velocidad X'(t) se representa por un vector geométrico ligado a
la curva en X(t), vemos que está situado en la recta tangente. El uso de la palabra
«velocidad» para la longitud del vector velocidad se justificará en la sección 14.12
en donde se demuestra que la velocidad es el coeficiente de variación de la longitud
de arco a lo largo de la curva. Esto es lo que el velocímetro de un automóvil
intenta medir. Así pues, la longitud del vector velocidad nos dice la rapidez con
que la partícula se mueve en cada instante, y su dirección nos indica hacia dónde
va. El vector velocidad cambiará si modificamos la velocidad o la dirección del
movimiento (o ambos). El vector aceleración es una medida de este cambio.
La aceleración origina el efecto que uno experimenta cuando un automóvil cambia
su velocidad o su dirección. A diferencia del vector velocidad, el vector aceleración
no está necesariamente en la recta tangente

Movimiento rectilíneo. Consideremos un movimiento cuyo
vector posición es
r(t) = P +f(t)A ,
donde P y A son vectores fijos y A =1=Q. Este movimiento se realiza a lo largo
de una recta que pasa por P y paralela a A. El vector velocidad, la velocidad y el
vector aceleración vienen dadas por
v(t) = f'(t)A , v(t) = Ilv(t)11 = If'(t)1 IIA 11, a(t) = f"(t)A .
Si f(t) y f"(t) no son cero, el vector aceleración es paralelo al vector velocidad.

https://cursos.aiu.edu/Matematicas%20Superiores/PDF/Tema%203.pdf
http://matematicaucv.bligoo.es/media/users/18/924937/files/200030/funciones-vectoriales.pdf


http://ocw.unizar.es/ciencias-sociales-y-juridicas/curso-cero-de-matematicas-para-estudiantes-de-empresariales/materiales/Materiales/Ejercicios/Unidad7/u7funreto.pdf