MAYO

Extremos de una función de varias variables.  
 Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales.

Definición. Una función tiene un máximo (mínimo) en un punto si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algún entono de P.

Condiciones necesarias de extremo. Si una función diferenciable alcanza un extremo en el punto entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero, o sea:

;

Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo.

Condiciones suficientes para la existencia de extremos.

(a) Caso de dos variables. Sea un punto crítico de una función con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea el determinante de su matriz hessiana, entonces:

Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si es negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método)

(b) Caso de tres o más variables. Calculamos los siguientes determinantes:

; ;;...;

1. Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene un mínimo en
2. Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo ), entonces la función tiene un máximo en
3. En cualquier otro caso hay duda.

  Extremos condicionados.

Planteamiento geométrico. Supongamos una superficie, definida por la función , y sobre esta superficie tracemos una curva, definida por la ecuación g(x,y)=0 . Se trata de encontrar los máximos y mínimos de esta curva espacial.

Planteamiento analítico. Se trata de hacer máxima o mínima una función f(x,y) sujeta a una restricción g(x,y)=0.

Reducción a una variable: Teóricamente el problema se puede resolver despejando y en la ecuación g(x,y)=0: y=h(x) y sustituyendo en f(x,y) = f(x,h(x)) = k(x) , con lo cual el problema se reduce a calcular un máximo o un mínimo de una sola variable.

El problema se presenta cuando no es práctico o no es posible despejar una de las variables en la ecuación g(x,y)=0.

Método de los multiplicadores de Lagrange. Los extremos de la función f(x,y) condicionados por la restricción g(x,y)=0, se producen en los puntos críticos de la función de Lagrange:

Condiciones necesarias de extremo. Las condiciones necesarias del extremo de una función de Lagrange vienen dadas por el sistema de ecuaciones.

Para resolver el sistema, eliminamos de las dos primeras ecuaciones y el resultado lo sustituimos en la tercera (procurando no perder soluciones con las simplificaciones).

Condiciones suficientes para la existencia de extremos.

(a) Caso de dos variables. Sea un punto crítico de la función de Lagrange , obtenido para un valor concreto . Formamos la función de Lagrange para ese

Para estudiar su naturaleza podemos seguir dos caminos:

(a-1) Método de la diferencial segunda: El problema de la existencia y el carácter del extremo condicional se resuelve averiguando el signo de la segunda diferencial de la función de Lagrange (particularizada para )

a condición de que:

Si la función tiene un mínimo condicionado, y si la función tiene un máximo condicionado.

(a-2) Método del Hessiano: Hallamos el hessiano de la función de Lagrange en el punto crítico correspondiente, y sólo podemos concluir en el caso de que sea positivo.

Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si es negativa máximo y si es positiva mínimo). En los demás casos hay duda (que habrá que resolver por otro método)

(b) Caso de tres o más variables (caso general). Calculamos los siguientes determinantes (con las derivadas evaluadas en ):

; : ... :

1. Si todos los determinantes tienen signo negativo, entonces la función tiene un mínimo condicionado en
2. Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor positivo ), entonces la función tiene un máximo condicionado en
3. Si todos los pero no se cumplen ninguna de las dos condiciones anteriores, entonces la función no posee extremo condicionado en
4. Si algún hay duda.

Reducción a dos variables: Los extremos de la función f(x,y,z) , condicionados por la restricción g(x,y,z) = 0, pueden reducirse a un extremo de dos variables en aquellos casos en que sea posible despejar una de las variable de la ecuación g(x,y,z) = 0.

Extremos condicionados con varias ligaduras: Los extremos de la función f(x,y,z) , condicionados por las restricciones g(x,y,z) = 0  y h(x,y,z) = 0 , se producen en los puntos críticos de la función de Lagrange: