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  Incrementos y diferenciales

Para funciones de una variable $\,y = f(x)\,$, se define el incremento de $\,y\,$ como
\begin{displaymath}\Delta y \, = \, f(x + \Delta x) - f(x) \end{displaymath}

y la diferencial de $\,y\,$ como
\begin{displaymath}dy\,=\,f'(x)dx\end{displaymath}

$\,\Delta y\,$ representa el cambio en la altura de la curva $\,y\,=\,f(x)\,$ y $\,dy\,$ representa la variación en $\,y\,$ a lo largo de la recta tangente cuando $\,x\,$ varía en una cantidad $\,dx\,=\, \Delta x\,$.
En la siguiente figura se muestra $\,df\, \, \mbox{y} \, \, \Delta f\,$.
Observe que $\,\Delta y - dy\,$ se aproxima a cero más rápidamente que $\,\Delta x\,$, ya que

$\,\displaystyle{\epsilon\,= \, \frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\, = \, \frac{f(x ... ...x)\Delta x}{\Delta x}\, = \, \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} - f'(x)}\,$
y al hacer $\,\Delta x \longrightarrow 0\,$, tenemos que $\,\epsilon \longrightarrow 0\,$.

Por tanto

\begin{displaymath}\Delta y \, = \, dy + \epsilon\, \Delta x\end{displaymath}


donde $\,\epsilon \longrightarrow 0\,$ conforme $\,\Delta x \longrightarrow 0\,$.


Ahora consideremos una función de dos variables $\,z\, = \, f(x, y)\,$.

Si $\,x\,$ y $\,y\,$ son incrementados $\,\Delta x\,$ y $\,\Delta y\,$, entonces el correspondiente incremento de $\,z\,$ es
\begin{displaymath}\Delta z\, = \, f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)\end{displaymath}


Con lo cual $\,\Delta z\,$ representa el cambio en el valor de $\,f\,$ cuando $\,(x, y)\,$ cambia a $\,(x + \Delta x, \; y + \Delta y)\,$



Derivadas parciales de primer orden. Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independienteal siguiente límite, si existe y es finito:
calculado suponiendoconstante.
Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independiente al siguiente límite, si existe y es finito:
calculado suponiendoconstante.
Para calcular las derivadas parciales son válidas las reglas y fórmulas de derivación ordinarias. Basta considerar que todas las variables son constantes (son números), salvo aquella respecto de la que estamos derivando.
Ejemplo
Halla, aplicando la definición, las derivadas parciales de la función

Solución:
Considerando como una constante, tenemos:
Considerando como una constante, tenemos:


Derivadas parciales y diferenciales de órdenes superiores. Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la función z = f(x,y) a las derivadas parciales de las derivadas parciales de primer orden.
Se usan las siguientes notaciones:
;
;
(se empieza derivando por la variable que está más cerca de la función)
Si las derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas cruzadas son iguales.
Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de órdenes superiores.
Si las derivadas parciales son continuas entonces no dependen del orden en que se realicen, sino del número de veces que se derive respecto de cada una de las variables (aunque el resultado final sea igual, el cálculo puede resultar más complicado en un orden que en otro).
Se llama diferencial de segundo orden de una función a la diferencial de su diferencial total:
Análogamente se define la diferencial de tercer orden.
Se siguen unas reglas parecidas a las potencias:

Derivada direccional y vector gradiente. Se llaman derivadas direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector el siguiente límite si existe y es finito:
Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector (dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector , es decir,con lo cual , de donde , y el límite se reduce a la única variable t
Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:
(es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario)
Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:
(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior).
Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto
La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)
El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:
Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:
 



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