APRENDIENDO CALCULO VECTORIAL 2014-A: MARZO

Primera Semana

Función de dos variables

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación

z = f (x, y)

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

Funciones de varias variables

El deseo de abordar problemas del mundo real, nos conduce a tomar en cuenta que, en general, cualquier situación o fenómeno requiere de más de una variable para su precisa descripción. Por ejemplo, el volumen de un cilindro depende del radio de la base y de su altura; la posición de un móvil en un momento determinado requiere para su exacta especiación, además del tiempo, de las tres coordenadas espaciales. Si adicionalmente se requiere la velocidad a la cual se desplaza, tendremos una función vectorial f que a cada vector de cuatro componentes (ubicación espacial y tiempo) le asigna la velocidad

V del móvil en ese punto y en ese instante:

f(x; y; z; t) = v

Observamos entonces que de acuerdo con la situación especifica que queramos describir, requerimos el tipo de función adecuada. Según si el dominio D y el rango R son subconjuntos de R; R2 o R3 las funciones se clasifican de la siguiente forma:

Función Nombre

En cada caso, donde aparece R3 lo podemos sustituir por R2 y el nombre se conserva.

Las denominaciones escalar o vectorial se refieren a si la imagen de la función es un

numero o es un vector.

. Derivadas parciales de primer orden. Se llama derivada parcial de una función

con respecto a la variable independiente

al siguiente límite, si existe y es finito:

calculado suponiendo

constante.

Se llama derivada parcial de una función

con respecto a la variable independiente

al siguiente límite, si existe y es finito:

calculado suponiendo

constante.

Para calcular las derivadas parciales son válidas las reglas y fórmulas de derivación ordinarias. Basta considerar que todas las variables son constantes (son números), salvo aquella respecto de la que estamos derivando.

Interpretación Geométrica de las derivadas

Las derivadas parciales de una función de dos variables $z=f(x,y)$ tienen una interesante interpretación geométrica. Si $y=y_0,\;z=f(x,y_0)$ es la curva intersección de la superficie $z=f(x,y)$ con el plano $y=y_0$ .

Por tanto,

$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

da la pendiente de esa curva en el punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ . Notar que tanlo la cura como la recta tangente están en el plano $y=y_0$ . Análogamente,

$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$

da la pendiente de la curva intersección de $z=f(x,y)$ con el plano $x=x_0$ en $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ como se ve en la siguiente figura,

Lo que viene a decirnos que los valores de $\frac{\partial z}{\partial x}$ y $\frac{\partial z}{\partial y}$ en el punto $(x_0,y_o,z_0)$ dan las pendientes de la superficie en las direcciones del eje x y el eje y.

Diferencial total y cálculo aproximado. Se llama incremento total de una función

en un punto

a la diferencia

donde

son incrementos arbitrarios de los argumentos.

Se llama diferencial total de la función

a la siguiente expresión (si la función es diferenciable)

(si la función no es diferenciable esta expresión no tiene ningún significado).

Una función se dice que es diferenciable en el punto

si el siguiente límite existe y es cero.

Condiciones necesarias de diferenciabilidad:

Si la función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto.
Si la función es diferenciable es un punto, entonces existen las derivadas parciales y en ese punto.

(los recíprocos de estos teoremas no son ciertos).

Condiciones suficientes de diferenciabilidad: Si las derivadas parciales son continuas en un punto, entonces la función es diferenciable en ese punto, pero si las derivadas parciales no son continuas, entonces no podemos asegurar nada.

Cálculos aproximados: La diferencial de una función se puede puede utilizar como aproximación del incremento.

;

Derivadas parciales y diferenciales de órdenes superiores. Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la función z = f(x,y) a las derivadas parciales de las derivadas parciales de primer orden.

Se usan las siguientes notaciones:

;

(se empieza derivando por la variable que está más cerca de la función)

Si las derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas cruzadas son iguales.

Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de órdenes superiores.

Si las derivadas parciales son continuas entonces no dependen del orden en que se realicen, sino del número de veces que se derive respecto de cada una de las variables (aunque el resultado final sea igual, el cálculo puede resultar más complicado en un orden que en otro).